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潜变式图式训练的特点和阶段有哪些
目前初中数学教学的惯例往往是在学习新知的基础上,教师举例求解,学生模仿练习,然后学生课后独立完成作业.通过这样一种流程达到掌握,巩固知识的目标.我不否认这种流程的实际效果.但仔细想想,始终觉得缺乏对学生数学思维能力的培养,学生的学习仅仅停留在被动接受与模仿练习上,而缺乏对知识深层次的,内在联系的思考.为了提高数学成绩,师生容易走入题海战术的误区.
现代数学课程标准提出:要求教师充分关注学习过程,引导学生探索新知;遵循学生认知心理发展规律,合理组织教学内容,建立合理的数学训练系统;数学教学不仅仅要使学生获得数学基础知识,基本技能,更要获得数学思想和观念,形成良好的数学思维品质,要通过各种途径,让学生体会数学思考和创造的过程,增强学习的兴趣和自信心,不断提高自主学习的能力.
数学教学,使学生理解知识仅仅是一个方面,更主要的是要培养学生的思维能力,掌握数学的思想和方法.我觉得加强数学教学中的变式训练对培养学生数学思维能力有很大的帮助.
变式其实就是创新.实施变式训练应抓住思维训练这条主线,恰当的变更问题情境或改变思维角度,培养学生的应变能力,引导学生从不同途径寻求解决问题的方法.通过多问,多思,多用等激发学生思维的积极性和深刻性.
当然变式不是盲目的变,应抓住问题的本质特征,遵循学生认知心理发展,根据实际需要进行变式.大致的类型有:多题一解式,一题多问式,一题多解式,一题多变式等等
一,多题一解,通过变式让学生概括基本规律,培养学生求同存异的思维能力
许多数学习题看似不同,但它们的内在本质(或者说是解题的思路,方法是一样的),这就要求教师在教学中重视对这类题目的收集,比较,引导学生寻求通法通解,并让学生自己感悟它们之间的内在联系,形成数学思想方法.
如:题1:如图A是CD上一点,ABC,ADE都是正三角形,求证CE=BD
题2:如图,ABD,ACE都是正三角形,求证CD=BE
题3:如图,分别以ABC的边AB,AC为一边画正方形AEDB和正方形ACFG,连接CE,BG,求证BG=CE
题4:如图,有公共顶点的两个正方形ABCD,BEFG,连接AG,EC,求证AG=EC
题5:如图,P是正方形ABCD内一点,ABP绕点B顺时针方向旋转能与CBP'重合,若PB=3,求PP'
上述五题均利用正三角形,正方形的性质,为证明全等三角形创造条件,并利用全等三角形的性质进行进一步的计算或证明.教师要把这类题目成组展现给学生,让学生在比较中感悟它们的共性.
二,一题多问,通过变式引申发展,扩充,发展原有功能,培养学生的创新意识和探究,概括能力
教学中要特别重视对课本例题和习题的改装或引申.数学的思想方法都隐藏在课本例题或习题中,我们在教学中要善于对这类习题进行必要的挖掘,即通过一个典型的例题,最大可能的覆盖知识点,把分散的知识点串成一条线,往往会起到意想不到的效果,有利于知识的建构.如,八年级第二学期练习册中有这样一个习题:如图(一)在ABC中,B=C,点D是边BC上的一点,DEAC,DFAB,垂足分别是E,F,AB=10cm,DE=5cm,DF=3 cm,求(1)SABC.(2)AB上的高.
上题通过连接AD分割成两个以腰为底的三角形即可求解SABC=40 cm2 ;借助于添加AB上的高CH,利用面积公式和第一题的结论,不难求的AB上的高为8cm.我在教学中并未把求得结论作为终极目标,而是继续问:3+5=8,在此题中是否是一个巧合 探究DE,DF,CH之间的内在联系,(学生猜想CH=DE+DF).
引出变式题(1)如图(二)在ABC中,B=C,点D是边BC上的任一点,DEAC,DFAB,CHAB,垂足分别是E,F,H,求证:CH=DE+DF
在计算例题的基础上,学生已经具有了用面积的不同求法把各条垂线段联系起来的意识,此题的证明很容易解决.
在学生思维的积极性充分调动起来的此时,我又借机给出变式(2)如图(三)在等边ABC中,P是形内任意一点,PDAB于D,PEBC于E,PFAC于F,求证PD+PE+PF是一个定值.
通过这组变式训练,面积法在几何计算和证明中的应用得到了很好的体现,同时这一组变式训练经历了一个特殊到一般的过程,有助于深化,巩固知识,学生猜想,归纳能力也有了进一步提高,更重要的是培养学生的问题意识和探究意识.
数学教学应该设计成为学生进行数学知识的再发现,再创造过程,从而培养学生创新意识和问题的探索过程.波利亚曾说:在证明一个定理之前,你必须猜想这个定理,在你搞清楚证明细节之前,你必须猜想出证明的主导思想.从具体问题出发,通过观察实验建立猜想,经过分析论证概括出规律,再深化应用指导解决具体问题的数学知识形成过程是培养学生创新意识的一种教学思想 .
三,一题多解,通过变式,培养学生发散思维的能力,培养学生思维的严密性
这里的一题多解有两层意思:一是一个题目有多个答案,二是同一题目有多种解法.
如在讲解求解相交两圆的圆心距的问题时学生往往会犯得出一个解而丢掉另一个解的错误.我先用运动的观点向学生解释两圆相交的形成,当两圆相切时,如果一圆的圆心继续向另一圆的圆心靠拢,当两圆有两个公共点时叫两圆相交.然后我在黑板上画出了圆心在公共弦两侧的相交两圆,待学生根据已知求出圆心距以后,让一圆的圆心继续向另一圆的圆心靠拢,当两圆的圆心在公共弦的同侧时,再让学生计算两圆的圆心距,这时学生发现在相同已知条件下两种情况算得的结果并不相同.由此得出两圆相交有圆心在公共弦的两侧或同侧两种情况的结论.
马斯洛夫的需要层次理论认为:每个学生都有自我实现和被重视的需要,都有重视个人尊严与价值的愿望,都有充分挖掘和发展自身潜能的倾向和独树一帜的渴求,并通过自己的创造性活动完善自身,实现自我.因此在教学中要重视数学知识的探究,为满足学生求异心理的需求,发挥习题的变式功能和解法的多样性,让学生感受因创新而带来的成功喜悦.
学生通过类似的变式练习,不仅有利于彻底根治多值问题中漏解的毛病,而且学生的探索创新意识会逐步增强,数学思维的严密性也得到培养.
四,一题多变,总结规律,培养学生思维的深刻性.通过变式教学,不是解决一个问题,而是解决一类问题,遏制题海战术,开拓学生解题思路,培养学生的探索意识,实现以少胜多
伽利略曾说过科学是在不断改变思维角度的探索中前进的.故而课堂教学要常新,善变,通过原题目延伸出更多具有相关性,相似性,相反性的新问题,深刻挖掘例习题的教育功能.
譬如书本上有这样一道题,求证:顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.教师可以不失时机地进行变式,调动起学生的思维兴趣.变式(1)顺次连接矩形各边中点所得四边形是什么图形 变式(2)顺次连接菱形各边中点所得四边形是什么图形 变式(3)顺次连接正方形各边中点所得四边形是什么图形 做完这四个练习,教师还可以进一步引导学生概括影响组成图形形状的本质的东西是原来四边形的对角线所具有的特征.又如应用题教学是初中教学中的一个难点,在教学中就可以把同类型的题目通过变式的方式展现给学生,把学生的思维逐步引向深刻.例, 甲,乙两车分别同时从相距210千米的A,B两城相向开出,甲车每小时行40千米,比乙车每小时快10千米,几小时后在途中相遇 在解答完例题之后,教师可对本例作以下变式,(1)把两车同时开出改为甲车先出发1时 (2)把两车相向而行改为两车朝AB方向同向而行(3)把本题改为甲,乙两车分别同时从相距210千米的A,B两城相向开出,1小时后,乙车以每小时比甲慢10千米的速度从B城开出,3小时后在途中相遇,求甲,乙两车的速度 这样的变式覆盖了同时出发相遇问题,不同时出发相遇问题,追及问题等行程问题的基本类型.这样通过一个题的练习既解决了一类问题,又归纳出各量之间最本质的东西,今后碰到类似问题学生思维指向必定准确,很好培养了学生思维的深刻性.学生也不必陷于题海而不能自拔.
综上所述,引导学生在熟练掌握书本例题,习题的解答的基础上,进行适当的变式训练,对巩固基础,提高能力有着重要的作用.特别是,变式训练能培养和发展学生的求异思维,发散思维,逆向思维,从而培养学生多角度,全方位考虑问题的能力,非常有助于学生提高分析问题,解决问题的能力.
参考资料:1,中小学数学(2004第4期)
2,《数学教育改革与研究》2004年3月
3,上海市普通中小学数学课程标准
4,《全国中小学教师继续教育》
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