图 6-2 正态分布概率密度函数的曲线
正态曲线可用方程式表示。当 n→∞时，可由二项分布概率函数方程推导出正态
分布曲线的方程：
f(x)= （6.16 ）
式中： x —所研究的变数； f(x) —某一定值 x 出现的函数值，一般称为概率
密度函数（由于间断性分布已转变成连续性分布，因而我们只能计算变量落在某
一区间的概率，不能计算变量取某一值，即某一点时的概率，所以用“概率密度”
一词以与概率相区分），相当于曲线 x 值的纵轴高度； p —常数，等于 3.14
159 ⋯⋯； e — 常数，等于 2.71828 ⋯⋯； μ 为总体参数，是所研究总体
的平均数，不同的正态总体具有不同的 μ ，但对某一定总体的 μ 是一个常数；
δ 也为总体参数，表示所研究总体的标准差，不同的正态总体具有不同的 δ ，
但对某一定总体的 δ 是一个常数。
上述公式表示随机变数 x 的分布叫作正态分布，记作 N( μ , δ2 ) ，读作“具
平均数为 μ，方差为 δ2 的正态分布”。正态分布概率密度函数的曲线叫正态
曲线，形状见图 6-2 。
（二）正态分布的特性
1 、正态分布曲线是以 x= μ 为对称轴，向左右两侧作对称分布。因 的
数值无论正负，只要其绝对值相等，代入公式（ 6.16 ）所得的 f(x) 是相等的，
即在平均数 μ 的左方或右方，只要距离相等，其 f(x) 就相等，因此其分布是
对称的。在正态分布下，算术平均数、中位数、众数三者合一位于 μ 点上。
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2 、 正态分布曲线有一个高峰。 随机变数 x 的取值范围为（ - ∞， + ∞ ），
在（ - ∞ ， μ ）正态曲线随 x 的增大而上升，；当 x= μ 时， f(x) 最大；
在（ μ ， + ∞ ）曲线随 x 的增大而下降。
3 、正态曲线在?x-μ?=1 δ 处有拐点。曲线向左右两侧伸展，当 x →±
∞ 时， f(x) →0 ，但 f(x) 值恒不等于零，曲线是以 x 轴为渐进线，所以曲
线全距从 -∞到 + ∞。
4 、正态曲线是由 μ 和 δ 两个参数来确定的，其中 μ 确定曲线在 x 轴上
的位置 [ 图 6-3] ， δ 确定它的变异程度 [ 图 6-4] 。 μ 和 δ 不同时，
就会有不同的曲线位置和变异程度。所以，正态分布曲线不只是一条曲线，而是
一系列曲线。任何一条特定的正态曲线只有在其 μ 和 δ 确定以后才能确定。
5 、正态分布曲线是二项分布的极限曲线，二项分布的总概率等于 1 ，正态分
布与 x 轴之间的总概率（所研究总体的全部变量出现的概率总和）或总面积也
应该是等于 1 。而变量 x 出现在任两个定值 x1到x2(x1≠x2)之间的概率，等于
这两个定值之间的面积占总面积的成数或百分比。正态曲线的任何两个定值间的
概率或面积，完全由曲线的 μ 和 δ 确定。常用的理论面积或概率如下：
区间 μ ± 1 δ 面积或概率 =0.6826
μ ± 2 δ =0.9545
μ ± 3 δ =0.9973
μ ± 1.960δ =0.9500
μ ±2.576 δ =0.9900
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图 6-3 标准差相同（ δ=1 ）而平均数
图 6-4 平均数相同（ μ =0 ）而标准差
不同的三条正态曲线 不同的三条正态曲线
（三）正态分布的概率计算
正态分布是连续性变数的理论分布，计算其概率的原理和方法不同于二项分布。
它不能计算变量取某一定值，即某一点时的概率，而只能计算变量落在某一区间
内的概率（即概率密度）。
对于任何正态分布随机变量 x 落入任意区间（ a ， b ）的概率可以表示为：
P(a分反应在几何图形上是曲线在该区间上与 x 轴所夹的面积，所以，在曲线下某
区间的面积等价于某区间的概率。对于一般的正态曲线，其概率计算公式为：
P （ a如果将定积分的形式与结果用累积函数（或称分布函数）表示，那么，正态曲线
下从 - ∞ 到 x 的面积，其式如下：
F （
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