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小学奥数容斥原理? 小学奥数容斥原理的类型及解法?

小学奥数容斥原理?

1 容斥原理是小学奥数中常见的一种计数方法。2 容斥原理指的是计算多个集合的交集时,需要减去重复计算的部分。3 例如,有两个集合A和B,它们的并集是{1,2,3,4,5},其中A={1,2,3},B={2,3,4},那么A和B的交集为{2,3}。使用容斥原理计算A和B的并集时,需要先将A和B的元素个数相加,即|A∪B|=|A|+|B|=3+3=6。但是由于A和B的交集{2,3}被计算了两次,因此需要减去一次,即|A∪B|=6-|A∩B|=6-2=4。4 容斥原理可以帮助我们快速计算多个集合的交集和并集,是小学奥数中常见的解题方法之一。

小学奥数容斥原理的类型及解法?

把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来。然后再把计数时重复计算的数目排斥出去。使得计算的结果既无遗漏又无重复、这种计数的方法称为容斥原理。

如果被计数的事物有A、 B两类,那么、 A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。

奥数容斥原理公式推导?

1 容斥原理是小学奥数中常见的一种计数方法。2 容斥原理指的是计算多个集合的交集时,需要减去重复计算的部分。3 例如,有两个集合A和B,它们的并集是{1,2,3,4,5},其中A={1,2,3},B={2,3,4},那么A和B的交集为{2,3}。使用容斥原理计算A和B的并集时,需要先将A和B的元素个数相加,即|A∪B|=|A|+|B|=3+3=6。但是由于A和B的交集{2,3}被计算了两次,因此需要减去一次,即|A∪B|=6-|A∩B|=6-2=4。4 容斥原理可以帮助我们快速计算多个集合的交集和并集,是小学奥数中常见的解题方法之一。

小学容斥原理口诀?

如果被计数的事物有A、B、C三类,那么A类、B类和C类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。

即A∪B∪C=A+B+C−A∩B−B∩C−C∩A+A∩B∩C。

3、集合的容斥关系

两个集合的容斥关系公式:A∪B=|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|(∩:重合的部分)。

三个集合的容斥关系公式:|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|B∩C|−|C∩A|+|A∩B∩C|(∩:重合的部分)。

容斥问题讲解方法?

1 容斥问题——容斥原理就是计算几个对象的总数时,先将所有对象的数目叠加计算,然后将重复的数目一一排除,最终得到无重复且没有遗漏的总数。容斥原理利用了“逆向”思维的逻辑思考方式,使整件“事情”变得更加简单。

2 解答容斥问题题目往往采用两种方法,一种是公式法,另一种是图示法。当然其基本原理都是相同的,先叠加所有对象的数目,然后减去重复的数目,最后得到最终的总数。

3 公式法的应用范围比较“简单“,一般涉及题目中的题干信息都是非常”直白性”的,套用公式法往往都可以迅速解答。公式法适用范围有限。

对象A、B的集合:A∪B=A+B-A∩B;

对象A、B和C的集合:A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C。

图示法一般指的是文氏图法,就是将几种对象的情况通过图形表示出来,这样一来看上去就一目了然了,解题也就自然而然非常清楚了。图示法的学习对于公式法的运用也能更加深入形象。

4 容斥问题题目中的题干信息需要非常注意,符合两个条件和只符合两个条件是完全不同的。

小学奥数:盈亏问题?

只要记住公式就简单得多了,把公式套进去就行。公式是:(1)一次有余(盈),一次不够(亏),可用公式: (盈+亏)÷(两次每份分配数的差)=平均分的份数(2)两次都有余(盈),可用公式:  (大盈-小盈)÷(两次每份分配数的差)=平均分的份数(3)两次都不够(亏),可用公式:  (大亏-小亏)÷(两次每份分配数的差)=平均分的份数(4)一次不够(亏),另一次刚好分完,可用公式:亏÷(两次每份分配数的差)=平均分的份数(5)一次有余(盈),另一次刚好分完,可用公式:盈÷(两次每份分配数的差)=平均分的份数

小学奥数抽水问题?

2006年夏天,我国某地区遭遇了严重干旱,政府为了解决村民饮水问题,在山下的一眼泉水旁修了一个蓄水池,每小时有40立方米泉水注入池中。第一周开动5台抽水机2.5小时就把一池水抽完,接着第二周开动8台抽水机1.5小时就把一池水抽完。后来由于旱情严重,开动13台抽水机同时供水,请问几小时可以把这池水抽完?

答案与解析:

答案为0.9。

一台抽水机一小时的抽水量为40×(2.5-1.5)÷(5×2.5-8×1.5)=80(立方米),池水的总量为2.5×(80×5-40)=900(立方米)。所以,使用13台抽水机,抽完池水需要的时间为900÷(80×13-40)=0.9(小时)。

小学容斥万能公式?

因此,根据图形,就有了以下几个公式:

1.a+b+c+d=I(只喜欢1者+只喜欢2者+3者都喜欢+3者都不喜欢=总集)

2.a+2b+3c=A+B+C(三个集合相加时,喜欢1者的部分加了1次,2者的部分加了2次,喜欢3者的部分加了3次)

3.b+3c=X+Y+Z(题目中的固定表达方式为喜欢A和B的有X人、喜欢A和C的有Y人,喜欢B和C的有Z人)

例1某专业有若干学生,现开设有甲、乙、丙三门选修课。有40人选修甲课程、36人选修乙课程、30人选修丙课程,兼选甲、乙课程的有28人、兼选甲、丙两门课程的有26人、兼选乙、丙两门课程的有24人、甲乙丙三门课程均选的有20人,三门课程均未选的有2人。该专业共有学生多少人?

A .48 B. 50 C. 52 D.54

解析:直接套用公式:

(1)根据题中“有40人选修甲课程、36人选修乙课程、30人选修丙课程” 得:a+2b+3c=40+36+30=106(2)根据题中“兼选甲、乙课程的有28人、兼选甲、丙两门课程的有26人、兼选乙、丙两门课程的有24人”得:b+3c=28+26+24=78(3) 根据题中“甲乙丙三门课程均选的有20人”得:c=20(4)根据题中“三门课程均未选的有2人”得:d=2.最终求出总集I=a+b+c+d=10+18+20+2=50人,所以答案为B

例2 某服装公司就消费者对红、黄、蓝三种颜色的偏好情况进行市场调查、共抽取了40名消费者、发现其中有20人喜欢红色、20人喜欢黄色、15人喜欢蓝色,至少喜欢两种颜色的有19人,喜欢三种颜色的有3人,问三种颜色都不喜欢的几个人?

A. 1 B.3 C.5 D.7

解析:套用公式:

(1)根据题中“共抽取了40名消费者” a+b+c+d=40(2)根据题中“发现其中有20人喜欢红色、20人喜欢黄色、15人喜欢蓝色” a+2b+3c=20+20+15=55(3)根据题中“至少喜欢两种颜色的有19人”b+c=19(4)根据题中“喜欢三种颜色的有3人”c=3.求d=?根据列出的四个式子,可求得d=40-14-16-3=7人 答案选B

集合容斥问题3个公式?

容斥问题三个集合的公式:A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-三者都不满足的个数。把ABC想象成三个圆形纸片,ABC叠加在一起的面积等于ABC面积之和减去两两重叠的部分,但是中间三者重叠的部分减去了三次,相当于被挖空了,所以还得加上它。

三集合斥问题的核心公式:

标准型:|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|。

非标准型:|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-只满足两个条件的-2×三个都满足的。

列方程组:|A∪B∪C|=只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。

|A|+|B|+|C|=只满足一个条件的+2×只满足两个条件的+3×三个都满足的,对于以上三组公式的理解,可以通过想象三个圆两两相交的重叠情况来加深。

三者容斥问题公式推导?

三者容斥问题的计算公式:

若条件给出A∩B,A∩C,B∩C,A∩B∩C的值,对于全集I来说相当于整个集中所有部分之和,即I=A∪B∪C+D(D为非A非B非C的区域),那么这里面我们算得A∪B∪C需要把其A,B,C中重复的区域扣除,如果我们把A,B,C加在一起,其中对于A∩B(①+②)的区域是在A,B中各参与计算一次,需要减一个A∩B,同样的道理对于A∩C(①+③),B∩C(①+④)均需要减去一个,对于重复的A∩B∩C(①)在我们把A,B,C加和时计算了三次,在减去A∩B,A∩C,B∩C均包含①区域则又减去三次,要保证没有遗漏需要在加回一次A∩B∩C,则A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C。

公式总结:A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C。

I=A∪B∪C+D=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C+D。